Question

【題目】已知函數f(x)＝ax＋ln x，其中a為常數.

(1)當a＝－1時，求f(x)的單調遞增區間.

(2)當0<－<e時，若f(x)在區間(0，e)上的最大值為－3，求a的值.

(3)當a＝－1時，試推斷方程|f(x)|＝是否有實數根.

Answer 1

【答案】(1)(0，1).(2) .(3)方程沒有實數根.

【解析】試題分析：（1）先求函數導數，再求導函數零點，列表分析可得導函數符號，即得f(x)的單調遞增區間.（2）先求函數導數，再求導函數零點，列表分析可得導函數符號，即得f(x)的單調性，最后根據單調性確定函數最大值，由最大值為-3解方程可得a的值.（3）先根據（1）得|f(x)|最小值為1，再利用導數研究單調性并確定最大值，且小于1，因此兩函數無交點

試題解析：(1)由已知可知函數f(x)的定義域為{x|x>0}，

當a＝－1時，f(x)＝－x＋ln x(x>0)，f′(x)＝(x>0)；

當0<x<1時，f′(x)>0；當x>1時，f′(x)<0.

所以f(x)的單調遞增區間為(0，1).

(2)因為f′(x)＝a＋(x>0)，令f′(x)＝0，解得x＝－；

由f′(x)>0，解得0<x<－；由f′(x)<0，解得－<x<e.

從而f(x)的單調遞增區間為，遞減區間為，

所以，f(x)max＝f＝－1＋ln＝－3.

解得a＝－e2.

(3)由(1)知當a＝－1時，f(x)max＝f(1)＝－1，

所以|f(x)|≥1.

令g(x)＝＋，則g′(x)＝.

當0<x<e時，g′(x)>0；

當x>e時，g′(x)<0.

從而g(x)在(0，e)上單調遞增，在(e，＋∞)上單調遞減.

所以g(x)max＝g(e)＝＋<1，

所以，|f(x)|>g(x)，即|f(x)|>＋，

所以，方程|f(x)|＝＋沒有實數根.