Question

【題目】已知函數f(x)＝x2＋b圖象上的點P(2,1)關于直線y＝x的對稱點Q在函數g(x)＝lnx＋a上．

(Ⅰ)求函數h(x)＝g(x)－f(x)的最大值；

(Ⅱ)對任意x1∈[1，e]，x2∈，是否存在實數k，使得不等式成立，若存在，請求出實數k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意得方程組，解得a，b的值，設h（x）=g（x）﹣f（x）=lnx﹣x2+5，通過求導得出h（x）在（，+∞）遞減，在（0， ）遞增；從而求出函數h（x）的最大值．

（Ⅱ）設G（x）=2k[g（x）﹣2]+f（x）+3=2klnx+x2，通過討論①k≥0，②0＜，③1＜≤e，④＞e的情況，從而求出k的范圍．

試題解析：

(Ⅰ)點P(2,1)關于直線y＝x的對稱點Q(1,2)，

∴，解得，

設h(x)＝g(x)－f(x)＝lnx－x2＋5，

h′(x)＝－2x

＝－＝－，

∵x∈(0，＋∞)，

∴當x∈(，＋∞)時，h′(x)<0；當x∈(0，)時，h′(x)>0，

∴h(x)在(，＋∞)上單調遞減；在(0，)上單調遞增，

∴h(x)max＝h()＝－ln2，

(Ⅱ)設T(x)＝ln＝2lnx，

∵ T′(x)＝，當x∈[，e2]時，T′(x)>0，即單調遞增，

∴在[，e2]上T(x)min＝T()＝lne＝1，

設G(x)＝2k＋f(x)＋3＝2klnx＋x2，

G′(x)＝＋2x＝，

①當k≥0時，在[1，e]上G′(x)>0，即單調遞增，即G(x)max＝G(e)＝2k＋e2，

依題得2k＋e2≤1，∴k≤，

又∵k≥0，∴k無解；

②當0<≤1，即－1≤k<0時，

在[1，e]上G′(x)>0，即單調遞增，

G(x)max＝G(e)＝2k＋e2 ，

依題得2k＋e2≤1，∴k≤，

又∵－1≤k<0，∴k無解；

③當1<≤e，即－e2≤k<－1時，

在[1，]上G′(x)<0，即單調遞減；

在[，e]上 G′(x)>0，即單調遞增，

又∵G(e)＝2k＋e2，G(1)＝1，

當G(e)≤G(1)，即k≤時，G(x)max＝G(1)＝1，顯然1≤1成立；

∵－e2<<－1，∴－e2≤k≤；

當G(e)>G(1)，即k>時，G(x)max＝G(e)＝2k＋e2，

由2k＋e2≤1得k≤，∴k無解；

④當>e，即k<－e2時，在[1，e]上G′(x)<0，即單調遞減，G(x)max＝G(1)＝1，顯然1≤1成立，

綜上，實數k的取值范圍為.