Question

【題目】以下命題中：

①若向量、、是空間的一組基底，則向量、、也是空間的一組基底；

②已知、、三點不共線，點為平面外任意一點，若點滿足，則點平面；

③曲線與曲線（且）有相同的焦點.

④過定圓上一定點作圓的動弦，為坐標原點，若，則動點的軌跡為橢圓；

⑤若過點的直線交橢圓于不同的兩點，且是的中點，則直線的方程是.

其中真命題的序號是______.（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

【答案】②③

【解析】

對于①，向量、、共面，即向量、、不是空間的一組基底；即①錯誤；

對于②，由向量的線性運算可得，即點平面，即②正確；對于③，當時與當時，曲線的焦點坐標為，即③正確；對于④，動點的軌跡方程為，即④錯誤；對于⑤，由點差法可得直線的方程是，即⑤錯誤，得解.

解：對于①，向量，即向量、、共面，即向量、、不是空間的一組基底；即①錯誤；

對于②，由，則,即，即，即點平面，即②正確；

對于③， 曲線的焦點坐標為，當時，曲線可化為的焦點坐標為，當時，曲線的焦點坐標為，即曲線與曲線（且）有相同的焦點，即③正確；

對于④，由，則點為弦的中點，設，則，又在圓周上，則，即，除去，則動點的軌跡為圓且除去，即④錯誤；

對于⑤，若過點的直線交橢圓于不同的兩點，且是的中點，設，則且，兩式相減可得，即直線的方程是，則直線的方程是，即⑤錯誤，

即真命題的序號是②③，

故答案為：②③.