Question

【題目】已知，.

（1）若，判斷函數在的單調性；

（2）證明： ，；

（3）設 ，對，，有恒成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）在單調遞增（2）見解析（3）2

【解析】

(1)計算導函數,結合導函數與原函數單調性關系,即可.(2)利用,得到 ,采用裂項相消法,求和,即可.(3)計算導函數,構造新函數,判斷最小值,構造函數,計算范圍,得到k的最小值，即可。

解：（1）.

又，因此，而，

所以，故在單調遞增.

（2）由（1）可知時，，

即，

設，則

因此

即

.

即結論成立.

（3）由題意知，

，

設，

則，

由于，故，

時，單調遞增，又，，

因此在存在唯一零點，使，即，

且當，，，單調遞減；

，，，單調遞增；

故 ，

故

，

設

，又設

故在上單調遞增，因此，

即，在單調遞增，

，

又，

所以，

故所求的最小值為.