Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）證明：當(dāng)a＝3時(shí)，函數(shù)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）分類討論，詳見解析；（2）詳見解析．

【解析】

（1）由，分和兩種情況進(jìn)行討論得出函數(shù)的單調(diào)性.
（2）函數(shù)有且只有兩個(gè)零點(diǎn),即方程有且只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即有且只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)，求出導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合零點(diǎn)存在原理得出結(jié)論,使得問題得證.

解：（1）的定義域?yàn)?/span>，．

①時(shí)，，則在是單調(diào)遞增；

②時(shí)，由得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．

綜上，時(shí)在是單調(diào)遞增；

時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

（2）．，令，

則，令，

顯然時(shí)，，

時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.

,

易知存在唯一，使，且時(shí)，，即，單調(diào)遞減；

時(shí)，，即，單調(diào)遞增，

所以至多有兩個(gè)零點(diǎn)．又，，，

故在區(qū)間和各有一個(gè)零點(diǎn)．所以函數(shù)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)．