Question

已知函數.
（1）求證：函數在點處的切線恒過定點，并求出定點坐標；
（2）若在區間上恒成立，求的取值范圍；
（3）當時，求證：在區間上，滿足恒成立的函數
有無窮多個.

Answer 1

解：(1)因為 ，所以在點處的切線的斜率為
，
所以在點處的切線方程為 ，……2分
整理得，所以切線恒過定點 ．   ………4分
(2) 令<0，對恒成立，
因為 （*）
………………………………………………………………6分
令，得極值點，，
①當時，有，即時，在（，+∞）上有，
此時在區間上是增函數，并且在該區間上有∈，不合題意；
②當時，有，同理可知，在區間上，有∈，
也不合題意；          …………………………………………… 8分                              
③當時，有，此時在區間上恒有，
從而在區間上是減函數；
要使在此區間上恒成立，只須滿足，
所以．    
綜上可知的范圍是．      ……………………………………………12分
(3)當時，
記．
因為，所以在上為增函數，
所以，        ………………………………14分
設, 則,
所以在區間上，滿足恒成立的函數有無窮多個．16分

略