Question

【題目】已知函數f(x)=x（e+1）

(I)求函數y=f(x)的圖象在點(0,f(0))處的切線方程；

(II)若函數g（x）=f（x）-ae-x，求函數g(x)在[1,2]上的最大值。

Answer 1

【答案】（1）y=2x（2）見解析

【解析】試題分析：（1）先根據導數幾何意義求切線斜率，再根據點斜式得切線方程，（2）先求導數，再求導函數零點，根據零點與定義區間相對位置關系確定函數單調性，最后根據單調性確定函數最大值取法.

試題解析：解:(I)依題意,f(x)=e+1+xe,故f(0)=e+1=2.

因為f(0)=0,故所求切線方程為y=2x;.

(Ⅱ)依題意,g(x)=(x-a+1)·e,令g(x)=0得x=a-1

所以當a-1≤1時,x∈[1,2]時,g(x)≥0恒成立,g(x)單調遞增,g(x)最大值為g(2),.

當a-1≥2時,x∈[1,2]時,g(x)≤0恒成立,g(x)單調遞減,g(x)最大值為g(1).

當1<a-1<2時,x∈[1,a-1)時,g(x)≤0,g(x)單調遞減;

x∈(a-1,2)時,g(x)>0,g(x)單調遞增.

當x∈[1,2]時,g(x)最大值為g(1)或g(2).

g（1）=（1-a）e，g（2）=（2-a）e，

g(1)-g(2)=(1-a)e-(2-a)e=(e-e)a-(2e-e).

∴當時,g(1)-g(2)≥0,g(x)max=g(1)=(1-a)e.

當a<=時,g(1)-g(2)<0,g(x)max=g(2)=(2-a)e