Question

雙曲線M的中心在原點(diǎn)，并以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，以拋物線的準(zhǔn)線為右準(zhǔn)線.
（Ⅰ）求雙曲線M的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線： 與雙曲線M相交于A、B兩點(diǎn)，O是原點(diǎn).
① 當(dāng)為何值時，使得?
② 是否存在這樣的實(shí)數(shù),使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）雙曲線M的方程為.
（Ⅱ）當(dāng)時，使得. 
②當(dāng)時，存在實(shí)數(shù)，使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱

（Ⅰ）易知，橢圓的半焦距為：，
又拋物線的準(zhǔn)線為：.   ----------2分
設(shè)雙曲線M的方程為，依題意有，
故，又.
∴雙曲線M的方程為. ----------4分
（Ⅱ）設(shè)直線與雙曲線M的交點(diǎn)為、兩點(diǎn)
聯(lián)立方程組 消去y得 ，-------5分
∵、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是上述方程的兩個不同實(shí)根，∴
∴，
從而有，.   ----------7分
又，
∴.
① 若，則有 ，即 .
∴當(dāng)時，使得.   ----------10分
② 若存在實(shí)數(shù),使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則必有，
因此，當(dāng)m=0時，不存在滿足條件的k；
當(dāng)時，由 得
  
∵A、B中點(diǎn)在直線上，
∴，代入上式得
，又， ∴----------13分
將代入并注意到，得.
∴當(dāng)時，存在實(shí)數(shù)，使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱----------14分