Question

函數(shù)y=ax³-x²+cx（a≠0）的圖象如圖所示，它與x軸僅有兩個(gè)公共點(diǎn)O（0，0）與A（x_A，0）（x_A＞0）；（1）用反證法證明常數(shù)c≠0；（2）如果xA=

1

2

，求函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)反證明法的證明方法，先假設(shè)c=0，則y=ax³-x²=x²（ax-1），這與圖象所給的矛盾，從而得出c≠0；
（2）由（1）知c≠0，得出y=x（ax²-x+c），圖象與x軸僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，得出方程ax²-x+c=0（a≠0）有二等根

1

2

．
由韋達(dá)定理列出關(guān)于a，c．的方程，解之即可．

解答：解：（1）假設(shè)c=0，則y=ax³-x²=x²（ax-1）；
∴xA=

1

a

＞0，當(dāng)x＜xA時(shí)，f(x)＜0這與圖象所給的：
當(dāng)0＜x＜x_A時(shí)，f（x）＞0矛盾，∴c≠0
（2）由（1）知c≠0，∴y=x（ax²-x+c）
∵圖象與x軸僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，
∴方程ax²-x+c=0（a≠0）有二等根

1

2

．
由韋達(dá)定理

1 a = 1 2 + 1 2 c a = 1 2 × 1 2

，∴

a=1 c= 1 4

，∴y=x3-x2+

1

4

x

點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)的圖象與圖象變化、函數(shù)解析式的求解及常用方法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．