Question

【題目】已知圓的圓心為原點，其半徑與橢圓的左焦點和上頂點的連線線段長度相等.

（1）求圓的標準方程；

（2）過橢圓右焦點的動直線（其斜率不為0）交圓于兩點，試探究在軸正半軸上是否存在定點，使得直線與的斜率之和為0？若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）當點為時，

【解析】分析：(1)根據題意，求出圓的標準方程；（2）假設存在符合條件的點.設，，，當直線的斜率存在時，設直線的方程為.

由得，利用根與系數關系表示

可得，斜率不存在也滿足，說明存在符合條件的點.

詳解：（1）由題知，橢圓的左焦點為，上頂點為，

故圓的半徑，

所以圓的標準方程為.

（2）假設存在符合條件的點.

設，，，

當直線的斜率存在時，

設直線的方程為.

由

得，

所以，.

由，得，

即

.

即.

當直線的斜率不存在時，直線的方程為，與圓的交點坐標分別為，，顯然滿足.

所以當點為時，.