Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側棱SD=2，SA=2

2

，∠SDC=120°．
（1）求證：側面SDC⊥底面ABCD；
（2）求側棱SB與底面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由SD=2，SA=2

2

，得AD⊥SD，又AD⊥CD，由線面垂直的判定得AD⊥側面SDC，進而由面面垂直的判定得側面SDC⊥底面ABCD；
（2）過點S作直線CD的垂線交CD的延長線于點E，由（1）知SE⊥底面ABCD，從而∠SBE是側棱SB與底面ABCD所成角．

解答：（1）證明：∵SD=2，SA=2

2

，
∴AD⊥SD，又AD⊥CD，CD?側面SDC，SD?側面SDC，
且SD∩CD=D，
∴AD⊥側面SDC．
又AD?底面ABCD，故側面SDC⊥底面ABCD．（7分）
（2）解：如圖，過點S作直線CD的垂線交CD的延長線于點E，
由（1）可知SE⊥底面ABCD，則∠SBE是側棱SB與底面ABCD所成角．
∵∠SDC=120°，
∴∠SDE=60°，又SD=2，
故SE=

3

，DE=1，
則BE=

32+22

=

13

，
故SB=4．
則sin∠SBE=

SE

BE

=

3

4

，
故側棱SB與底面ABCD所成角的正弦值為

3

4

．（14分）

點評：本題主要考查線面垂直與面面垂直之間的相互轉化以及線面角的求法．