Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，SA⊥底面ABCD，∠BAD=∠ABC=90°，SA=AB=AD=

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BC=1，E為SD的中點．
（1）若F為底面BC邊上的一點，且BF=

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BC，求證：EF∥平面SAB；
（2）底面BC邊上是否存在一點G，使得二面角S-DG-A的正切值為

2

？若存在，求出G點位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）取SA的中點H，連接EH，BH，根據HE∥AD，BF∥AD，且HE=

1

2

AD，BF=

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2

AD可得四邊形EFBH為平行四邊形，則EF∥BH，BH?平面SAB，EF?平面SAB，根據線面平行的判定定理可知EF∥平面SAB．
（2）假設存在點G，滿足題設條件，過A作AI⊥DG于I，由三垂線定理得SI⊥DG，并設二面角S-DG-A的大小為α，根據題意可知tanα=

SA

AI

=

2

，即AI=

2

2

，又AD=1，故∠ADG=45°或∠ADG=135°，討論兩種情形，可得結論．

解答：解：（1）取SA的中點H，連接EH，BH．
由HE∥AD，BF∥AD，且HE=

1

2

AD，BF=

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AD．
∴EF∥BH，BF=HE，
∴四邊形EFBH為平行四邊形．
∴EF∥BH，BH?平面SAB，EF?平面SAB，
∴EF∥平面SAB．（6分）

（2）假設存在點G，滿足題設條件，過A作AI⊥DG于I，
由三垂線定理得SI⊥DG，并設二面角S-DG-A的大小為α．
則tanα=

SA

AI

=

2

，
∴AI=

2

2

，
又AD=1，故∠ADG=45°或∠ADG=135°，
若∠ADG=45°，則G與B點重合；
若∠ADG=135°，則BG=AD+AB=2，
故存在點G與B重合或BG=

2

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BC滿足題設．

點評：判斷或證明線面平行的常用方法有：①利用線面平行的定義（無公共點）；②利用線面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b?a∥α）；③利用面面平行的性質定理（α∥β，a?α?a∥β）；④利用面面平行的性質（α∥β，a?α，a?，a∥α??a∥β）．