Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD．底面ABCD為矩形，AD=

2

a，AB=

3

a，SA=SD=a．
（Ⅰ）求證：CD⊥SA；
（Ⅱ）求二面角C-SA-D的大小．

Answer 1

分析：法一：（Ⅰ）因為平面SAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，且面SAD∩面ABCD=AD，所以CD⊥平面SAD．由此能夠證明CD⊥SA．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，CD⊥SA．在△SAD中，SA=SD=a，AD=

2

a，所以SA⊥SD，所以SA⊥平面SDC．所以∠CSD為二面角C-SA-D的平面角．由此能夠求出二面角C-SA-D的大小．
法二：（Ⅰ）取BC的中點E，AD的中點P．在△SAD中，SA=SD=a，P為AD的中點，所以，SP⊥AD．又因為平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD=AD，所以，SP⊥平面ABCD．PE⊥AD．以PA為x軸，PE為y軸，PS為z軸建立空間直角坐標系，由向量法證明CD⊥SA． 
（Ⅱ）設

n

=（x，y，z）為平面CSA的一個法向量，則

2 2 ax- 2 2 az=0 2 ax-a 3 y=0

，所以

n

=(

3

，

2

，

3

)．

PE

為平面SAD的一個法向量，

m

=（0，1，0）為平面SAD的一個法向量，由向量法能求出二面角C-SA-D的大小．

解答：（本小題滿分14分）
法一：
證明：（Ⅰ）因為平面SAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，且面SAD∩面ABCD=AD，
所以CD⊥平面SAD．
又因為SA?平面SAD
所以CD⊥SA．                …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，CD⊥SA．
在△SAD中，SA=SD=a，AD=

2

a，
所以SA⊥SD，
所以SA⊥平面SDC．
即SA⊥SD，SA⊥SC，
所以∠CSD為二面角C-SA-D的平面角．
在Rt△CDS中，tan∠CSD=

CD

SD

=

3 a

a

=

3

，
所以二面角C-SA-D的大小

π

3

．      …（14分）
法二：
（Ⅰ）取BC的中點E，AD的中點P．
在△SAD中，SA=SD=a，P為AD的中點，所以，SP⊥AD．
又因為平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD=AD
所以，SP⊥平面ABCD．顯然，有PE⊥AD．   …（1分）
如圖，以P為坐標原點，PA為x軸，PE為y軸，PS為z軸建立空間直角坐標系，
則S(0，0，

2

2

a)，A(

2

2

a，0，0)，B(

2

2

a，

3

a，0)，C(-

2

2

a，

3

a，0)，D(-

2

2

a，0，0)．      …（3分）
（Ⅰ）易知

CD

=(0，-

3

a，0)，

SA

=(

2

2

a，0，-

2

2

a)
因為

CD

•

SA

=0，
所以CD⊥SA．       …（6分）
（Ⅱ）設

n

=（x，y，z）為平面CSA的一個法向量，
則有

2 2 ax- 2 2 az=0 2 ax-a 3 y=0

，所以

n

=(

3

，

2

，

3

)．…（7分）
顯然，EP⊥平面SAD，所以

PE

為平面SAD的一個法向量，
所以

m

=（0，1，0）為平面SAD的一個法向量．…（9分）
所以 cos＜n，m＞=

2

2 2

=

1

2

，
所以二面角C-SA-D的大小為

π

3

．   …（14分）

點評：本題考查異面直線垂直的證明，求二面角的大小．解題時要認真審題，仔細解答，注意向量法的合理運用．