Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為正方形，側棱SD⊥底面ABCD，E、F分別是AB、SC的中點
（1）求證：EF∥平面SAD
（2）設SD=2CD，求二面角A-EF-D的大小．

Answer 1

分析：法一：（1）作FG∥DC交SD于點G，則G為SD的中點．
要證EF∥平面SAD，只需證明EF平行平面SAD內的直線AG即可．
（2）取AG中點H，連接DH，說明∠DMH為二面角A-EF-D的平面角，解三角形求二面角A-EF-D的大小．
法二：建立空間直角坐標系，

EF

=

AG

，EF∥AG，AG?平面SAD即可證明（1）；
（2）求出向量

MD

和

EA

，利用cos＜

MD

，

EA

＞=

MD • EA

| MD |•| EA |

，即可解答本題．

解答：解：法一：
（1）作FG∥DC交SD于點G，則G為SD的中點．
連接AG，FG

∥ .

.

1

2

CD，又CD

∥ .

.

AB，
故FG

∥ .

.

AE，AEFG為平行四邊形．EF∥AG，又AG?平面SAD，EF?平面SAD．
所以EF∥平面SAD．
（2）不妨設DC=2，則SD=4，DG=2，△ADG為等
腰直角三角形．
取AG中點H，連接DH，則DH⊥AG．
又AB⊥平面SAD，所以AB⊥DH，而AB∩AG=A，
所以DH⊥面AEF．
取EF中點M，連接MH，則HM⊥EF．
連接DM，則DM⊥EF．
故∠DMH為二面角A-EF-D的平面角tan∠DMH=

DH

HM

=

2

1

=

2

．
所以二面角A-EF-D的大小為arctan

2

．

法二：（1）如圖，建立空間直角坐標系D-xyz．
設A（a，0，0），S（0，0，b），則B（a，a，0），C（0，a，0），E(a，

a

2

，0)，F(0，

a

2

，

b

2

)，

EF

=(-a，0，

b

2

)．
取SD的中點G(0，0，

b

2

)，則

AG

=(-a，0，

b

2

)．

EF

=

AG

，EF∥AG，AG?平面SAD，EF?平面SAD，
所以EF∥平面SAD．
（2）不妨設A（1，0，0），則B（1，1，0），C（0，1，0），S（0，0，2），E(1，

1

2

，0)，F(0，

1

2

，1)．EF中點M(

1

2

，

1

2

，

1

2

)，

MD

=(-

1

2

，-

1

2

，-

1

2

)，

EF

=(-1，0，1)，

MD

•

EF

=0，MD⊥EF
又

EA

=(0，-

1

2

，0)，

EA

•

EF

=0，EA⊥EF，
所以向量

MD

和

EA

的夾角等于二面角A-EF-D的平面角．cos＜

MD

，

EA

＞=

MD • EA

| MD |•| EA |

=

3

3

．
所以二面角A-EF-D的大小為arccos

3

3

．

點評：半邊天考查直線與平面平行的判定，二面角的求法，考查計算能力，邏輯思維能力，是中檔題．