Question

【題目】如圖所示，平面平面，四邊形為矩形， ，點為的中點.

(1)證明： 平面.

(2)點為上任意一點，在線段上是否存在點，使得？若存在，確定點的位置，并加以證明；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）中點

【解析】試題分析：

（1）連接交于，連接，利用是矩形得到，再由線面平行的判定定理可證；

（2）當為中點時，有；取中點，連接，結合三角形的中位線性質以及面面平行的性質進行推理得到平面即可.

試題解析：

(1)證明　連接AC交BD于O，連接OF，如圖①.

∵四邊形ABCD是矩形，∴O為AC的中點，又F為EC的中點，

∴OF為△ACE的中位線，:∴OF∥AE，又OF平面BDF，

AE平面BDF，∴AE∥平面BDF.

（2）當P為AE中點時，有PM⊥BE，
證明如下：取BE中點H，連接DP，PH，CH，
如圖

∵P為AE的中點，H為BE的中點，
∴PH∥AB，又AB∥CD，∴PH∥CD，
∴P，H，C，D四點共面．
∵平面ABCD∥平面BCE，CD⊥BC
∴CD⊥平面BCE，又BE平面BCE，
∴CD⊥BE∵BC=CE，H為BE的中點，
∴CH⊥BE，
∴BE⊥平面DPHC，又PM平面DPHC，
∴BE⊥PM即PM⊥BE