Question

【題目】設有關x的一元二次方程9x2+6ax﹣b2+4=0．
（1）若a是從1，2，3這三個數中任取的一個數，b是從0，1，2這三個數中任取的一個數，求上述方程有實根的概率；
（2）若a是從區間[0，3]中任取的一個數，b是從區間[0，2]中任取的一個數，求上述方程有實根的概率．

Answer 1

【答案】解：（1）由題意，知基本事件共有9個，可用有序實數對表示為（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），
其中第一個表示a的取值，第二個表示b的取值
由方程9x2+6ax﹣b2+4=0的△=36a2﹣36（﹣b2+4）≥0a2+b2≥4
∴方程9x2+6ax﹣b2+4=0有實根包含7個基本事件，即（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）．
∴此時方程9x2+6ax﹣b2+4=0有實根的概率為
（2）a，b的取值所構成的區域如圖所示，其中0≤a≤3，0≤b≤2
∴構成“方程9x2+6ax﹣b2+4=0有實根”這一事件的區域為{（a，b）|a2+b2≥4，0≤a≤3，0≤b≤2}（圖中陰影部分）．
∴此時所求概率為

【解析】（1）利用有序實數對表示基本事件，由古典概型公式解答；
（2）表示a，b滿足的區域，求出面積，利用幾何概型解答．
【考點精析】通過靈活運用幾何概型，掌握幾何概型的特點：1）試驗中所有可能出現的結果（基本事件）有無限多個；2）每個基本事件出現的可能性相等即可以解答此題．