Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，已知AB=3，AD=1，E、F分別是AB的兩個三等分點，AC，DF相交于點G，建立適當的平面直角坐標系：
（1）若動點M到D點距離等于它到C點距離的兩倍，求動點M的軌跡圍成區域的面積；
（2）證明：E G⊥D F．

Answer 1

【答案】
（1）解：以A為原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，

則A（0，0），B（3，0），C（3，1），D（0，1），E（1，0），F（2，0）．

設M（x，y），由題意知|MD|=2|MC|

∴

兩邊平方化簡得：即（x﹣4）2+（y﹣1）2=4

即動點M的軌跡為圓心（4，1），半徑為2的圓，

∴動點M的軌跡圍成區域的面積為4π

（2）證明：由A（0，0）．C（3，1）知直線AC的方程為：x﹣3y=0，

由D（0，1）．F（2，0）知直線DF的方程為：x+2y﹣2=0，

由 得 ，故點G點的坐標為 ．

又點E的坐標為（1，0），故kEG=2，kDF=﹣

所以kEGkDF=﹣1，即證得：EG⊥DF

【解析】（1）以A為原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，求出動點M的軌跡方程，即可求出圍成區域的面積；（2）求出直線AC，DF的方程，可得G的坐標，計算kEGkDF=﹣1，即可得到結論．