Question

【題目】已知函數 （其中 ， 為常數， 為自然對數的底數）.
（1）討論函數 的單調性；
（2）設曲線 在 處的切線為 ，當 時，求直線 在 軸上截距的取值范圍.

Answer 1

【答案】
（1）解： ，
當 時， 恒成立，函數 的遞增區間是 ；
當 時， 或 .
函數 的遞增區間是 ， ，遞減區間是
（2）解： ， ，
所以直線 的方程為： .
令 得到：截距 ，記 ，
，記
（∵ ），所以 遞減，
∴ ，∴ ，即 在區間 上單調遞減，
∴ ，即截距的取值范圍是： .
【解析】（1）求復合函數的單調性要先對函數進行求導，找到導函數的零點，再根據“導函數大于0，原函數單調遞增，小于0，原函數單調遞減”，進一步判斷函數的單調區間。
（2）先設出切線l，再根據函數的性質確定b的取值范圍。設切線時要注意直線方程的選取，已知直線上一點和其斜率，可直接設點斜式；在求b時，要注意a的取值范圍。
【考點精析】通過靈活運用函數單調性的判斷方法和復合函數單調性的判斷方法，掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律：“同增異減”即可以解答此題．