Question

【題目】設x，y滿足不等式組 ，若z=ax+y的最大值為2a+4，最小值為a+1，則實數a的取值范圍為 ．

Answer 1

【答案】[﹣2，1]
【解析】解：由z=ax+y得y=﹣ax+z，直線y=﹣ax+z是斜率為﹣a，y軸上的截距為z的直線， 作出不等式組對應的平面區域如圖：
則A（1，1），B（2，4），
∵z=ax+y的最大值為2a+4，最小值為a+1，
∴直線z=ax+y過點B時，取得最大值為2a+4，
經過點A時取得最小值為a+1，
若a=0，則y=z，此時滿足條件，
若a＞0，則目標函數斜率k=﹣a＜0，
要使目標函數在A處取得最小值，在B處取得最大值，
則目標函數的斜率滿足﹣a≥kBC=﹣1，
即0＜a≤1，
若a＜0，則目標函數斜率k=﹣a＞0，
要使目標函數在A處取得最小值，在B處取得最大值，
則目標函數的斜率滿足﹣a≤kAC=2，
即﹣2≤a＜0，
綜上﹣2≤a≤1，
所以答案是：[﹣2，1]．