Question

【題目】知函數f（x）=ax2﹣2x+lnx（a≠0，a∈R）．
（1）判斷函數 f （x）的單調性；
（2）若函數 f （x）有兩個極值點x1 ， x2 ， 求證：f（x1）+f（x2）＜﹣3．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得，函數f（x）的定義域是（0，+∞），

f′（x）=2ax﹣2+ = ，

令g（x）=2ax2﹣2x+1，△=4﹣8a，

①a≥ 時，△=4﹣8a≤0，f′（x）≥0恒成立，

則f（x）在（0，+∞）遞增；

②a＜ 時，△=4﹣8a＞0，

由g（x）=0，解得：x1= ，x2= ，

（i）0＜a＜ 時，0＜x1＜x2，

此時f（x）在區間（x1，x2）遞減，在（0，x1），（x2，+∞）遞增；

（ii）a＜0時，x2＜0＜x1，

此時f（x）在區間（x1，+∞）遞減，在（0，x1）遞增，

∴a≥ 時，f（x）在（0，+∞）遞增，

0＜a＜ 時，f（x）在區間（x1，x2）遞減，在（0，x1），（x2，+∞）遞增，

a＜0時，f（x）在區間（x1，+∞）遞減，在（0，x1）遞增；

（2）解：證明：由（1）得0＜a＜ 時，函數f（x）有2個極值點x1，x2，

且x1+x2= ，x1x2= ，

∴f（x1）+f（x2）=﹣（lna+ ）﹣（1+ln2），

令h（a）=﹣（lna+ ）﹣（1+ln2），（0＜a＜ ），

則h′（a）=﹣（ ﹣ ）= ＞0，

∴h（a）在（0， ）遞增，

則h（a）＜h（ ）=﹣（ln +2）﹣（1+ln2）=﹣3，

即f（x1）+f（x2）＜﹣3．

【解析】（1）求出函數的導數，通過討論a的范圍求出函數的單調區間即可；（2）求出f（x1）+f（x2）=﹣（lna+ ）﹣（1+ln2），令h（a）=﹣（lna+ ）﹣（1+ln2），（0＜a＜ ），根據函數的單調性證明即可．