Question

【題目】如圖1，一藝術(shù)拱門由兩部分組成，下部為矩形，的長分別為和，上部是圓心為的劣弧，．

（1）求圖1中拱門最高點(diǎn)到地面的距離；

（2）現(xiàn)欲以B點(diǎn)為支點(diǎn)將拱門放倒，放倒過程中矩形所在的平面始終與地面垂直，如圖2、圖3、圖4所示．設(shè)與地面水平線所成的角為．記拱門上的點(diǎn)到地面的最大距離為，試用的函數(shù)表示，并求出的最大值．

Answer 1

【答案】（1）拱門最高點(diǎn)到地面的距離為．（2），其最大值為

【解析】

（1）求出圓的半徑，結(jié)合圓和RT△的性質(zhì)求出拱門最高點(diǎn)到地面的距離即可；

（2）通過討論P點(diǎn)所在的位置以及三角函數(shù)的性質(zhì)求出h的最大值即可．

（1）如圖，過作與地面垂直的直線交于點(diǎn)，交劣弧于點(diǎn)，的

長即為拱門最高點(diǎn)到地面的距離．

在中，，，

所以，圓的半徑．

所以．

答：拱門最高點(diǎn)到地面的距離為．

（2）在拱門放倒過程中，過點(diǎn)作與地面垂直的直線與“拱門外框上沿”相交于點(diǎn)．

當(dāng)點(diǎn)在劣弧上時，拱門上的點(diǎn)到地面的最大距離等于圓的半徑長與圓心到地面距離之和；

當(dāng)點(diǎn)在線段上時，拱門上的點(diǎn)到地面的最大距離等于點(diǎn)到地面的距離．

由（1）知，在中，．

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系．

當(dāng)點(diǎn)在劣弧上時，．

由，，

由三角函數(shù)定義，

得 ，

則．

所以當(dāng)即時，

取得最大值．

當(dāng)點(diǎn)在線段上時，．設(shè)，在中，

，

．

由，得．

所以 ．

又當(dāng)時，．

所以在上遞增．

所以當(dāng)時，取得最大值．

因為，所以的最大值為．

綜上，藝術(shù)拱門在放倒的過程中，拱門上的點(diǎn)到地面距離的最大值為（）．