Question

【題目】在直角坐標系中，過點的直線與拋物線相交于，兩點，弦的中點的軌跡記為.

（1）求的方程；

（2）已知直線與相交于，兩點.

（i）求的取值范圍；

（ii）軸上是否存在點，使得當變動時，總有？說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ； (2) （i）或.（ii）見解析.

【解析】

（1）先設，，，根據，以及題意，得到，再由，兩式聯立，即可得出結果；

（2）（i）先由題意得到方程組有兩不同實數解，消去，根據判別式，以及題中條件，列出不等式求解，即可得出結果；

（ii）假設存在是符合題意的點；設，，聯立直線與曲線方程，根據韋達定理，得到，，計算，只需，即可得.

（1）設，，，由題意可得：，

則，從而，

因為點為弦的中點，所以，即，

又直線過點，所以，

則，即，

而必在拋物線的內部，從而，即.

故的方程為.

（2）（i）因為直線與相交于，兩點，

所以方程組有兩不同實數解，

由消去，得，

即在上有兩個不相等的實數根，

所以，只需且，

即且，解得：或.

所以的取值范圍是或；

（ii）假設存在是符合題意的點；設，.

將消去，得，故，，

由（i）知：或；

從而

，

因此，當，即時，，

又為坐標原點，所以，

即存在點符合題意.