Question

【題目】如圖，已知，分別是橢圓的左、右焦點，過與軸垂直的直線交橢圓于點，且

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知點，問是否存在直線與橢圓交于不同的兩點，，且的垂直平分線恰好過點？若存在，求出直線斜率的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題（1）直接依據定義求得橢圓的長軸長，又右焦點為，從而得到其標準方程；（2）本題需分與軸垂直和不垂直兩種情況簡單討論，當不垂直時，可設的方程為，聯立橢圓方程，轉化為一元二次方程方程有兩解問題求得斜率取值范圍．

試題解析：（1） 連接，在中，，，∴

∴ 由橢圓定義可知即，又，從而，

∴ 橢圓的標準方程為．

（2） 由題意可知，若的垂直平分線恰好過點，則有，

當與軸垂直時，不滿足；當與軸不垂直時，

設的方程為，由，消得，

∵，

∴，①式

令，，的中點為，則

∴，，

∴， 又∵，

∴即，化簡得，

結合①式得，即，解之得：，

綜上所述，存在滿足條件的直線，且其斜率的取值范圍為.