Question

【題目】如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點M、N分別是面對角線A1B與B1D1的中點，設 = ， = ， = ．

（1）以{ ， ， }為基底，表示向量 ；
（2）求證：MN∥平面BCC1B1；
（3）求直線MN與平面A1BD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：
（2）證明：連A1C1、BC1，則N為A1C1的中點，

又M為A1B的中點，

∴MN∥BC1，

又MN平面BCC1B1，BC1平面BCC1B1，

∴MN∥平面BCC1B1

（3）解：∵DA、DC、DD1兩兩垂直，

∴可以D為原點，DA、DC、DD1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系D﹣xyz．

設正方體棱長為2，

則M（2，1，1），N（1，1，2），A1（2，0，2），B（2，2，0），

D（0，0，0），A（2，0，0），C1（0，2，2），

∴ ， ， ， ，

∵ ， ，

∴ ， ，

∴ 為平面A1BD的法向量，

設直線MN與平面A1BD所成的角為θ，

則 ，

所以直線MN與平面A1BD所成角的正弦值為 ．

【解析】（1）利用向量的加法，即可得出結論；（2）連A1C1、BC1 ， 則N為A1C1的中點，證明MN∥BC1 ， 即可證明結論；（3）以D為原點，DA、DC、DD1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系D﹣xyz，求出平面A1BD的法向量，即可求直線MN與平面A1BD所成角的正弦值．
【考點精析】關于本題考查的直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角，需要了解平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能得出正確答案．