Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E是PD的中點．
（1）證明：PB∥平面AEC；
（2）設AP=1，AD= ，三棱錐P﹣ABD的體積V= ，求A到平面PBC的距離．
（3）在（2）的條件下求直線AP與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設BD和AC交于點O，連接EO．

∵ABCD為矩形，∴O為BD的中點．

又∵E為PD的中點，∴EO∥PB

∵EO平面AEC，PB平面AEC，

∴PB∥平面AEC．

（2）解：VP﹣ABD= PAABAD= AB．由V= ，可得AB=

作AH⊥PB交PB于H．

由BC⊥AB，BC⊥PA，知BC⊥平面PAB．

∴BC⊥AH，故AH⊥平面PBC．

又AH= = ．

∴A到平面PBC的距離為 ．

（3）解：由（2）可知：AH⊥平面PBC．

∴∠APH為直線AP與平面PBC所成角

在Rt△APH中，AH= ，AP=1，

∴sin∠APH= = ．

∴直線AP與平面PBC所成角的正弦值為 ．

【解析】（1）設BD和AC交于點O，連接EO．運用三角形的中位線定理和線面平行的判定定理，即可得證；（2）運用棱錐的體積公式，求得AB，作AH⊥PB交PB于H，證得AH⊥平面PBC，運用直角三角形PAB中面積相等，可得AH的長，即為所求；（3）推得∠APH為直線AP與平面PBC所成角，在Rt△APH中，運用正弦函數的定義，計算即可得到所求值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解空間角的異面直線所成的角的相關知識，掌握已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．