Question

【題目】對于函數f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，則稱x0為f（x）的不動點．已知f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣1（a≠0）．
（1）當a=1，b=﹣2時，求函數f（x）的不動點；
（2）若對任意實數b，函數f（x）恒有兩個相異的不動點，求a的范圍；
（3）在（2）的條件下，若y=f（x）圖象上A、B兩點的橫坐標是函數f（x）的不動點，且A、B兩點關于直線y=kx+ 對稱，求b的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a=1，b=﹣2時，f（x）=x2﹣x﹣3，

f（x）=xx2﹣2x﹣3=0x=﹣1，x=3

∴函數f（x）的不動點為﹣1和3

（2）解：即f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣1=x有兩個不等實根，

轉化為ax2+bx+b﹣1=0有兩個不等實根，須有判別式大于0恒成立

即b2﹣4a（b﹣1）＞0△=（﹣4a）2﹣4×4a＜00＜a＜1，

∴a的取值范圍為0＜a＜1

（3）解：設A（x1，x1），B（x2，x2），則x1+x2=﹣ ，

A，B的中點M的坐標為 （ ， ），即M（﹣ ，﹣ ）

∵A、B兩點關于直線y=kx+ 對稱，

又因為A，B在直線y=x上，

∴k=﹣1，A，B的中點M在直線y=kx+ 上．

∴﹣ = b=﹣ =﹣ 利用基本不等式可得

當且僅當a= 時，b的最小值為﹣

【解析】（1）轉化為直接解方程x2﹣x﹣3=x即可．（2）轉化為ax2+bx+b﹣1=0有兩個不等實根，轉化為b2﹣4a（b﹣1）＞0恒成立，再利用二次函數大于0恒成立須滿足的條件來求解即可．（3）利用兩點關于直線對稱的兩個結論，一是中點在已知直線上，二是兩點連線和已知直線垂直．找到a，b之間的關系式，整理后在利用基本不等式求解可得．
【考點精析】利用二次函數的圖象和二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為頂點坐標是；當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減．