Question

【題目】已知函數f（x）=aln（x+1）+ x2﹣x，其中a為實數．
（Ⅰ）討論函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）若函數f（x）有兩個極值點x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， 求證：2f（x2）﹣x1＞0．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域為（﹣1，+∞）， = ．

①當a﹣1≥0時，即a≥1時，f'（x）≥0，f（x）在（﹣1，+∞）上單調遞增；

②當0＜a＜1時，由f'（x）=0得 ， ，

故f（x）在（﹣1，﹣ ）上單調遞增，在（﹣ ， ）上單調遞減，

在（ ，+∞）上單調遞增；

③當a＜0時，由f'（x）=0得x1= ，x2=﹣ （舍）

f（x）在（﹣1， ）上單調遞減，在（ ，+∞）上單調遞增．

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得若函數f（x）有兩個極值點x1，x2，且x1＜x2，則0＜a＜1， ， ，

∴x1+x2=0，x1x2=a﹣1且x2∈（0，1），

要證2f（x2）﹣x1＞0f（x2）+ x2＞0aln（x2+1）+ ﹣ x2＞0（1+x2）ln（x2+1）﹣ x2＞0，

令g（x）=（1+x）ln（x+1）﹣ x，x∈（0，1），

∵g′（x）=ln（x+1）+ ＞0，

∴g（x）在（0，1）遞增，

∴g（x）＞g（0）=0，

∴命題得證．

【解析】（Ⅰ）求導數，分類討論，利用導數的正負研究函數f（x）的單調性；（Ⅱ）所證問題轉化為（1+x2）ln（x2+1）﹣ x2＞0，令g（x）=（1+x）ln（x+1）﹣ x，x∈（0，1），根據函數的單調性證明即可．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．