Question

【題目】已知函數 ，且該函數的圖象過點（1，5）． （Ⅰ）求f（x）的解析式，并判斷f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判斷f（x）在區間（0，2）上的單調性，并用函數單調性的定義證明你的結論．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因為函數f（x）圖象過點（1，5），即1+ =5，解得m=4．

所以 ．

因為f（x）的定義域為（∞，0）∪（0，+∞），定義域關于坐標原點對稱，

又 ，

所以函數f（x）是奇函數．

（II）函數f（x）在區間（0，2）上是減函數．

證明：設x1，x2∈（0，2），且x1＜x2，

則

=

因為x1，x2∈（0，2），則x1x2∈（0，4），

所以 ．

又因為x1＜x2，所以x1x2＜0，

所以 ，即f（x1）f（x2）＞0．

所以f（x）在區間（0，2）上是減函數．

【解析】（Ⅰ）根據條件求出m的值，結合函數奇偶性的定義進行證明即可，（Ⅱ）根據函數單調性的定義進行證明即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用奇偶性與單調性的綜合的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性．