Question

【題目】已知O為坐標原點，拋物線C：y2=nx（n＞0）在第一象限內的點P（2，t）到焦點的距離為 ，曲線C在點P處的切線交x軸于點Q，直線l1經過點Q且垂直于x軸．
（Ⅰ）求線段OQ的長；
（Ⅱ）設不經過點P和Q的動直線l2：x=my+b交曲線C于點A和B，交l1于點E，若直線PA，PE，PB的斜率依次成等差數列，試問：l2是否過定點？請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由拋物線C：y2=nx（n＞0）在第一象限內的點P（2，t）到焦點的距離為 得 ，所以n=2，故拋物線方程為y2=2x，P（2，2）
所以曲線C在第一象限的圖象對應的函數解析式為 ，則 .
故曲線C在點P處的切線斜率 ，切線方程為：
令y=0得x=﹣2，所以點Q（﹣2，0）
故線段OQ=2
（Ⅱ）由題意知l1：x=﹣2，因為l2與l1相交，所以m≠0
設l2：x=my+b，令x=﹣2，得 ，故
設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
由 消去x得：y2﹣2my﹣2b=0
則y1+y2=2m，y1y2=﹣2b
直線PA的斜率為 ，
同理直線PB的斜率為 ，直線PE的斜率為
因為直線PA，PE，PB的斜率依次成等差數列
所以 + =2
即
因為l2不經過點Q，所以b≠﹣2
所以2m﹣b+2=2m，即b=2
故l2：x=my+2，即l2恒過定點（2，0）
【解析】（Ⅰ）求出拋物線方程，曲線C在點P處的切線方程，得出Q的坐標，即可求線段OQ的長；（Ⅱ）求出直線PA的斜率為 ，直線PB的斜率為 ，直線PE的斜率為 ，因為直線PA，PE，PB的斜率依次成等差數列，得出2m﹣b+2=2m，即b=2，即可得出結論．