Question

已知等比數列{a_n}的公比q=3，前3項和S₃=．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（II）若函數f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜p＜π）在處取得最大值，且最大值為a₃，求函數f（x）的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據等比數列的前n項和的公式及q=3化簡S₃=，得到關于首項的方程，求出方程的解得到首項的值，然后根據首項和公比即可寫出數列的通項公式；
（II）由（I）求出的通項公式求出a₃的值，即可得到A的值，然后把代入正弦函數中得到函數值等于1，根據φ的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出φ的值，把φ的值代入即可確定出f（x）的解析式．
解答：解：（I）由q=3，S₃=得：=，解得a₁=，
所以a_n=×3^n-1=3^n-2；
（II）由（I）可知a_n=3^n-2，所以a₃=3，
因為函數f（x）的最大值為3，所以A=3；
又因為當x=時，f（x）取得最大值，所以sin（2×+φ）=1，
由0＜φ＜π，得到φ=．
則函數f（x）的解析式為f（x）=3sin（2x+）．
點評：此題考查學生靈活運用等比數列的前n項和的公式及通項公式化簡求值，掌握正弦函數的圖象與性質以及會利用待定系數法求函數的解析式，是一道中檔題．