Question

(本題滿分18分) 本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分. 第3小題滿分8分.
（文）對于數列，從中選取若干項，不改變它們在原來數列中的先后次序，得到的數列稱為是原來數列的一個子數列. 某同學在學習了這一個概念之后，打算研究首項為,公差為的無窮等差數列的子數列問題，為此，他取了其中第一項，第三項和第五項.
(1) 若成等比數列,求的值；
(2) 在, 的無窮等差數列中，是否存在無窮子數列，使得數列為等比數列？若存在，請給出數列的通項公式并證明；若不存在，說明理由；
(3) 他在研究過程中猜想了一個命題：“對于首項為正整數，公比為正整數()的無窮等比數  列,總可以找到一個子數列,使得構成等差數列”. 于是，他在數列中任取三項，由與的大小關系去判斷該命題是否正確. 他將得到什么結論？

Answer 1

（1）d=0（2）存在b_n=4^n-1為符合條件的一個子數列，因為b_n="1+3M" ="1+3" [(M+1)-1]是{a_n}中的第M+1項（3）通過計算可以得到>，從而原命題為假命題

試題分析：(1)由a₃²=a₁a₅，                                               ……2分
即(a₁+2d)²=a₁(a₁+4d)，得d=0.                                            ……4分
(2) a_n=1+3(n-1)，如b_n=4^n-1便為符合條件的一個子數列.                      ……7分
因為b_n=4^n-1=(1+3)^n-1=1+3+3²+…+3^n-1=1+3M,                      ……9分
這里M=+3+…+3^n-2為正整數，
所以,b_n="1+3M" ="1+3" [(M+1)-1]是{a_n}中的第M+1項，得證.                   ……11分
(注：b_n的通項公式不唯一)
(3) 該命題為假命題.                                                 ……12分
由已知可得,
因此,,又,
故 ,        ……15分
由于是正整數，且，則,
又是滿足的正整數，則,
,
所以，> ,從而原命題為假命題.                                ……18分
點評：等差數列和等比數列是高考中常考的兩種特殊數列，它們的判定和通項公式、前n項和公式的應用要熟練掌握，靈活應用.