Question

【題目】如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AD=1，E為CD中點．

（1）求證：C1D∥平面AB1E；
（2）求證：BC1⊥B1E；
（3）若AB= ，求二面角E﹣AB1﹣B的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由長方體性質可知，B1C1∥BC，BC∥AD，且三者都相等

∴四邊形B1C1DA是平行四邊形，C1D∥D1A

∵C1D平面AB1E，AB1平面AB1E，

∴C1D∥平面AB1E．

（2）證明：連結B1C，由長方體性質可知，CD⊥平面BC1BC1平面BC1，

∴CD⊥BC1，又AA1=AD，

∴四邊形BCC1B1是正方形，BC1⊥B1C，

又B1C∩CD=D，∴BC1⊥平面B1CEB1E平面B1CE，∴BC1⊥B1E．

（3）解：

法一：設F是線段AB中點，連結EF

∵EF∥AD，AD⊥平面AA1B1B，

∴EF⊥平面AA1B1B，EF⊥AB1，作FG⊥AB1，EF∩FG=F，

∴AB1⊥平面EFG，AB1⊥EG，∠EGF是二面角E﹣AB1﹣B的平面角，）

直角三角形FGA中，

， ， ．

直角三角形EFG中，

∴二面角E﹣AB1﹣B的正切值

法二：以A為原點，AB，AD，AA1分別為x，y，z軸建立空間坐標系．

則A（0，0，0）， ， ， ，

， ， ，

設平面AB1E的法向量為 ，

由 ， ， ， ，

得： ，令y=1，得 ， ，

設向量 與 的夾角為θ，則 ，

∴二面角E﹣AB1﹣B的正切值為 ．

【解析】（1）推導出四邊形B1C1DA是平行四邊形，從而C1D∥D1A，由此能證明C1D∥平面AB1E．（2）連結B1C，推導出CD⊥BC1 ， 從而四邊形BCC1B1是正方形，BC1⊥B1C，由此能證明BC1⊥B1E．（3）法一：設F是線段AB中點，連結EF，作FG⊥AB1 ， 則∠EGF是二面角E﹣AB1﹣B的平面角，由此能求出二面角E﹣AB1﹣B的正切值．法二：以A為原點，AB，AD，AA1分別為x，y，z軸建立空間坐標系，利用向量法能求出二面角E﹣AB1﹣B的正切值．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面平行的判定，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行即可以解答此題．