Question

（本小題滿分14分）
過拋物線的對稱軸上一點的直線與拋物線相交于M、N兩點，自M、N向直線作垂線，垂足分別為、。           
（Ⅰ）當時，求證：⊥；
（Ⅱ）記、 、的面積分別為、、，是否存在，使得對任意的，都有成立。若存在，求出的值；若不存在，說明理由。

Answer 1

解 依題意，可設直線MN的方程為，


則有
由   ，消去x可得                  
從而有                                            ①
于是                          ②
又由，可得        ③
（Ⅰ）如圖1，當時，點即為拋物線的焦點，為其準線
此時 ①可得
證法1：
     
證法2：
                  
(Ⅱ)存在，使得對任意的，都有成立，證明如下：
證法1：記直線與x軸的交點為,則。于是有
                  

將①、②、③代入上式化簡可得

上式恒成立，即對任意成立                 
證法2：如圖2，連接,則由可得
,所以直線經過原點O，
同理可證直線也經過原點O
又設則