Question

【題目】已知函數，．

（1）試判斷函數的單調性；

（2）是否存在實數，使函數的極值大于？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）存在，實數的取值范圍為．

【解析】

（1）求出導函數，由確定增區間，由確定減區間，為此必須對分類討論，先分類，，時，按和分類，在時按和分類，時，兩根是負數，不在定義域內，而時，的兩根一正一負，易得結論；

（2）由（1）只有時，在一個極大值點，因此題意要求，，其中．滿足即，即，這樣有．于是令，討論的單調性得，所以等價于，解不等式可得結論。

（1）由題可得，函數的定義域為，

．

①當時，，所以函數在上單調遞增．

②當時，令，即，即，．

當，即時，，

故，所以函數在上單調遞增．

當，即時，方程的兩個實根分別為，．

若，則，，

此時，所以函數在上單調遞增；

若，則，，

此時當時，，當時，，

所以函數在上單調遞增，在上單調遞減．

綜上所述，當時，函數在上單調遞增；當時，函數在單調遞增，在上單調遞減．

（2）由（1）可得，當時，函數在上單調遞增，故函數無極值；

當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減，

此時函數有極大值，極大值為，其中．

又，所以，即，所以．

令，則，

所以函數在上單調遞增．

又，所以當時，，所以等價于，

即當時，，即，

顯然當時，，所以，即，解得，

故存在滿足條件的實數，使函數的極值大于，此時實數的取值范圍為．