Question

【題目】對于數列{an}、{bn}，Sn為數列{an}的前n項和，且Sn+1﹣（n+1）=Sn+an+n，a1=b1=1，bn+1=3bn+2，n∈N* ．
（1）求數列{an}、{bn}的通項公式；
（2）令cn= ，求數列{cn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由Sn+1﹣（n+1）=Sn+an+n，

∴Sn+1﹣Sn=an+2n+1，

∴an+1﹣an=2n+1，

∴a2﹣a1=2×1+1，

a3﹣a2=2×2+1，

a4﹣a3=2×3+1，

…

an﹣an﹣1=2（n﹣1）+1，

以上各式相加可得：an﹣a1=2×（1+2+3+…+n﹣1）+（n﹣1），

∴an=2× +（n﹣1）+1=n2，

∴an=n2，

∵bn+1=3bn+2，即bn+1+1=3（bn+1），

b1+1=2，

∴數列{bn+1}是以2為首項，以3為公比的等比數列，

bn+1=2×3n﹣1，

∴bn=2×3n﹣1﹣1；

（2）解：由（1）可知：cn= = = ，

∴Tn=c1+c2+…+cn= + + +…+ ，

Tn= + + +…+ ，

∴ Tn=2+ + + +…+ ﹣ ，

=2+ ﹣ ，

= ﹣ ，

∴Tn= ﹣ ，

數列{cn}的前n項和Tn，Tn= ﹣

【解析】（1）由Sn+1﹣Sn=an+2n+1，則an+1﹣an=2n+1，利用“累加法”即可求得an=n2 ， 由bn+1+1=3（bn+1），可知數列{bn+1}是以2為首項，以3為公比的等比數列，即可求得{bn}的通項公式；（2）由（1）可知：cn= = = ，利用“錯位相減法”即可求得數列{cn}的前n項和Tn ．
【考點精析】本題主要考查了數列的前n項和和數列的通項公式的相關知識點，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能正確解答此題．