Question

【題目】已知函數.

（1）證明：函數在區間上是減函數；

（2）當時，證明：函數只有一個零點.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：（1）只需證明f(x)的導函數恒成立，且不恒等于0.注意定義域和參數的范圍。（2）當時， ，其定義域是，通過求導分析函數的單調性及極值可知函數f(x)的圖像與x軸相切于（1,0）點，其余點均在x軸下方，所以只有一個零點。

試題解析：（1）顯然函數的定義域為.　

∴ .

∵， ，∴， ，∴，

所以函數在上是減函數.

（2）當時， ，其定義域是，

∴.　

令，即，解得或.

∵，∴舍去.

當時， ；當時， .　

∴函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，

∴當時，函數取得最大值，其值為，

當時， ，即，

∴函數只有一個零點.