Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）若函數在定義域上是增函數，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）若，令，試討論函數的零點個數，并說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.(Ⅱ）見解析

【解析】試題分析：（1）函數在某區間上為增函數就是要求函數的導數在某區間上非負，求出函數的導數，由于含參，所以對參數分類兩種情況討論，當時，導數非負恒成立，當，導數值有正有負有零，不合題意舍；（2）寫出函數F(x)并求導，分m=1和m>1兩種情況研究，當m=1時，函數單調減，一個零點，當 m>1時，寫出函數的單調區間，圖象先減后增再減，由于極小值為正，只能當極大值小于零時，才會有一個零點，解出m的范圍 .

試題解析：

（Ⅰ）依題意得， ， ，

當時， ，故函數在上單調遞增，符合題意；

當時， ，

令，得，函數單調遞減，

令，得，函數單調遞增，

故函數在上單調遞減，在上單調遞增，不合題意.

綜上所述，實數的取值范圍為.

(Ⅱ）（），

易得.

①若，則，函數為減函數，

注意到， ，所以有唯一零點；

②若，則當或時， ，當時， ，

所以函數在和上單調遞減，在上單調遞增，

注意到， ，所以有唯一零點.

綜上，當時，函數有唯一零點.