Question

【題目】已知圓的圓心為，點是圓上的動點，點，線段的垂直平分線交于點．

（1）求點的軌跡的方程；

（2）過點作斜率不為0的直線與（1）中的軌跡交于，兩點，點關于軸的對稱點為，連接交軸于點，求．

Answer 1

【答案】(1);(2).

【解析】分析：（1）利用待定系數法求出點在以、為焦點，長軸長為4的橢圓上，點的軌跡的方程為．（2）先求出點Q的坐標，再利用兩點間的距離公式求．

詳解：（1）由題意知，線段的垂直平分線交于點，所以，

∴，

∴點在以、為焦點，長軸長為4的橢圓上，

，，，

∴點的軌跡的方程為．

（2）依題意可設直線方程為，將直線方程代入，

化簡得，

設直線與橢圓的兩交點為，，

由，得，①

且，，②

因為點關于軸的對稱點為，則，可設，

所以，

所以所在直線方程為，

令，得，③

把②代入③，得，

∴點的坐標為，

∴．