Question

【題目】如圖，設矩形所在平面與梯形所在平面相交于.若，，.

（1）求證：；

（2）若，求與面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）連結、，交于點O，連結，，，從而是邊長為1的正三角形，取中點G，連結，，連結，，從而，，由此能求出平面，由此能證明.

（2）過B作，交于點H，連結，以H為原點，為x軸，為y軸，過H作平面的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出與面所成角的正弦值.

解：（1）證明：連結、，交于點O，連結，

∵矩形所在平面與梯形所在平面相交于.

，，.

∴，，

∴是邊長為1的正三角形，

取中點G，連結，，連結，，

∴，，

∵，平面，平面，

∴平面，

∵平面，

∴.

（2）解：∵，∴三棱錐和三棱錐都是棱長為1的正四面體，

過B作，交于點H，連結，

∴，，，，

∴，

∴以H為原點，為x軸，為y軸，過H作平面的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，

，，，

平面的法向量，

設與面所成角為，

則，

∴與面所成角的正弦值為.