Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=1+a（ ）x+（ ）x ．
（1）當(dāng)a=﹣2，x∈[1，2]時，求函數(shù)f（x）的最大值與最小值；
（2）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上都有﹣2≤f（x）≤3，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：令t=（ ）x，則y=f（x）=1+at+t2，

當(dāng)a=﹣2，x∈[1，2]時，y=f（x）=1﹣2t+t2，t∈[ ， ]，

當(dāng)t= ，即x=2時，函數(shù)f（x）的最大值為 ，

當(dāng)t= ，即x=1時，函數(shù)f（x）的最小值為

（2）解：若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上都有﹣2≤f（x）≤3，

則y=1+at+t2，在（0， ]上都有﹣2≤y≤3，

由函數(shù)y=1+at+t2的圖象是開口朝上，且以直線t= 為對稱軸的直線，

故當(dāng) ≤0，即a≥0時，1+ a+ ≤3，解得：a∈[0， ]

當(dāng)0＜ ＜ ，即 ＜a＜0時， ，解得：a∈（ ，0），

當(dāng) ≥ ，即a≤ 時，1+ a+ ≥﹣2，解得：a∈[﹣ ， ]

綜相可得a∈[﹣ ， ]

【解析】令t=（ ）x ， 則y=f（x）=1+at+t2 ， （1）當(dāng)a=﹣2，x∈[1，2]時，y=f（x）=1﹣2t+t2 ， t∈[ ， ]，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得函數(shù)f（x）的最大值與最小值；（2）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上都有﹣2≤f（x）≤3，y=1+at+t2 ， 在（0， ]上都有﹣2≤y≤3，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解函數(shù)的最值及其幾何意義(利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值)．