Question

【題目】已知橢圓，點P(2，0)．

(I)求橢圓C的短軸長與離心率；

( II)過(1，0)的直線與橢圓C相交于M、N兩點，設MN的中點為T，判斷|TP|與|TM|的大小，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）短軸長為，離心率為．（Ⅱ）見解析

【解析】分析：（Ⅰ）由題意可得，，于是可得短軸長與離心率．（Ⅱ）方法一：通過判斷點P與以MN為直徑的圓的位置關系可得結論．方法二：運用作差比較的方法判斷大小關系．

詳解：（I）由題意的橢圓的方程為，

∴

∴，．

∴橢圓C的短軸長為，離心率為．

（II）方法1：結論是：．

當直線斜率不存在時，．

當直線斜率存在時，設直線

由消去y整理得，

∵直線與橢圓交于兩點，

∴．

設，

則．

又

∴，

∴點P在以MN為直徑的圓內，

故．

（II）方法2：結論是．

當直線斜率不存在時，

當直線斜率存在時，設直線

由消去y整理得，

∵直線與橢圓交于兩點，

∴．

設，

則，

∴，

∴

，

，

∵，

∴．