【題目】如圖，正六邊形
的中心為
，對
、
、
、
、
、
、這七個點中的任意兩點，以其中一點為起點、另一點為終點作向量.任取其中兩個向量，以它們的數量積的絕對值作為隨機變量
.試求的概率分布列及其數學期望
.
【答案】見解析
【解析】
所作出的向量數為
，則可取
對向量.設所取向量分別為
、
.由于
，因此，可不考慮向量的方向.不妨令所取兩向量的夾角均為它們所在直線的夾角（取值范圍為
），則任意兩向量之間的夾角均屬于集合
，每個向量的模值屬于集合
，其中，模為1的個數為12，模為
的個數為6，模為2的個數為3.
若
，則它們之間的夾角必為
，
，其概率為
.
若
，則它們之間的夾角可能為
或.當夾角為時，
，其概率為
；當夾角為時，
，其概率為
.
若
，則它們之間的夾角可能為或.易知其概率分別為
，
.
若
，
，則它們之間的夾角可能為
或
.易知其概率分別為
，
.
若，
，則它們之間的夾角可能為或.易知其概率分別為
，
.
若
，，則它們之間的夾角可能為或.易知其概率為
，
.
從而，
的概率分布列為表
| 0 |
| 1 |
| 2 | 3 |
|
|
|
|
|
|
|
故的數學期望
.
亮點激活精編提優100分大試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】近年來，國資委.黨委高度重視扶貧開發工作，堅決貫徹落實中央扶貧工作重大決策部署，在各個貧困縣全力推進定點扶貧各項工作，取得了積極成效，某貧困縣為了響應國家精準扶貧的號召，特地承包了一塊土地，已知土地的使用面積以及相應的管理時間的關系如下表所示：
土地使用面積 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
管理時間 | 8 | 10 | 13 | 25 | 24 |
并調查了某村300名村民參與管理的意愿，得到的部分數據如下表所示:
愿意參與管理 | 不愿意參與管理 | |
男性村民 | 150 | 50 |
女性村民 | 50 |
（1）求出相關系數
的大小，并判斷管理時間
與土地使用面積
是否線性相關？
（2）是否有99.9%的把握認為村民的性別與參與管理的意愿具有相關性？
（3）若以該村的村民的性別與參與管理意愿的情況估計貧困縣的情況，則從該貧困縣中任取3人，記取到不愿意參與管理的男性村民的人數為,求的分布列及數學期望。
參考公式：
其中
。臨界值表：
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
參考數據：
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】以下是某地區不同身高的未成年男性的體重平均值表.
身高/ | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | 110 |
體重/ | 6.13 | 7.9 | 9.99 | 12.15 | 15.02 | 17.5 |
身高/ | 120 | 130 | 140 | 150 | 160 | 170 |
體重/ | 20.92 | 26.86 | 31.11 | 38.85 | 42.25 | 55.05 |
（1）給出兩個回歸方程：
①
，②
.通過計算，得到它們的相關指數分別是：
，
.試問哪個回歸方程擬合效果更好？
（2）若體重超過相同身高男性平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8為偏瘦，那么該地區某中學一男生身高為
，體重為
，他的體重是否正常？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某學校高三年級學生某次身體素質體能測試的原始成績采用百分制，已知所有這些學生的原始成績均分布在
內，發布成績使用等級制，各等級劃分標準見下表．
百分制 | 85分及以上 | 70分到84分 | 60分到69分 | 60分以下 |
等級 | A | B | C | D |
規定：A，B，C三級為合格等級，D為不合格等級為了解該校高三年級學生身體素質情況，從中抽取了n名學生的原始成績作為樣本進行統計．
按照
，
，
，
，
的分組作出頻率分布直方圖如圖1所示，樣本中分數在80分及以上的所有數據的莖葉圖如圖2所示
求n和頻率分布直方圖中的x，y的值，并估計該校高一年級學生成績是合格等級的概率；
根據頻率分布直方圖，求成績的中位數
精確到
；
在選取的樣本中，從A，D兩個等級的學生中隨機抽取2名學生進行調研，求至少有一名學生是A等級的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司共有職工1500人,其中男職工1050人,女職工450人.為調查該公司職工每周平均上網的時間,采用分層抽樣的方法,收集了300名職工每周平均上網時間的樣本數據(單位:小時)
男職工 | 女職工 | 總計 | |
每周平均上網時間不超過4個小時 | |||
每周平均上網時間超過4個小時 | 70 | ||
總計 | 300 |
(Ⅰ)應收集多少名女職工樣本數據?
(Ⅱ)根據這300個樣本數據,得到職工每周平均上網時間的頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數據分組區間為:
，
，
，
，
，
.試估計該公司職工每周平均上網時間超過4小時的概率是多少?
(Ⅲ)在樣本數據中,有70名女職工的每周平均上網時間超過4個小時.請將每周平均上網時間與性別的
列聯表補充完整,并判斷是否有95%的把握認為“該公司職工的每周平均上網時間與性別有關”
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
為坐標原點，橢圓
：
的左、右焦點分別為
，
，右頂點為
，上頂點為
，若
，
，
成等比數列，橢圓
上的點到焦點的距離的最大值為
．
求橢圓的標準方程；
過該橢圓的右焦點作兩條互相垂直的弦
與
，求
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，小圓圈表示網絡結點，結點之間的連線表示它們之間有網線連接，連線標注的數字表示該段網線單位時間內可以通過的最大信息量，現從結點A向結點B發送信息，信息可以分開沿不同的路線同時傳遞，則單位時間內傳遞的最大信息量為（ ）
A．19 B．20 C．24 D． 26
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】黃岡市的天氣預報顯示，大別山區在今后的三天中，每一天有強濃霧的概率為
，現用隨機模擬的方法估計這三天中至少有兩天有強濃霧的概率：先利用計算器產生
之間整數值的隨機數，并用0，1，2，3，4，5表示沒有強濃霧，用6，7，8，9表示有強濃霧，再以每3個隨機數作為一組，代表三天的天氣情況，產生了如下20組隨機數：
779 537 113 730 588 506 027 394 357 231
683 569 479 812 842 273 925 191 978 520
則這三天中至少有兩天有強濃霧的概率近似為
A. 
B. 
C. 
D. 
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