Question

已知橢圓，橢圓以的長(zhǎng)軸為短軸，且與有相同的離心率.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)、分別在橢圓和上，，求直線的方程.

Answer 1

（1）；（2）或.

試題分析：（1）先根據(jù)題意設(shè)橢圓的方程為，再利用離心率相等求出的值，進(jìn)而確定橢圓的方程；（2）根據(jù)條件得到、、三點(diǎn)共線，進(jìn)而可以設(shè)直線的方程為，并將此直線方程與兩橢圓的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)和的坐標(biāo)，并結(jié)合這個(gè)條件得出兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的等量關(guān)系，從而求出的值，最終求出直線的方程.
試題解析：（1）由已知可設(shè)橢圓的方程為，
其離心率為，故，解得，因此橢圓的方程為；
（2）設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，
由及（1）知，、、三點(diǎn)共線，且、不在軸上，因此可設(shè)直線的方程為，
將代入中，得，所以，
將代入，得，所以,
又由，得，即,
解得，故直線的方程為或.