Question

【題目】市場上有一種新型的強力洗衣液，特點是去污速度快．已知每投放（，且）個單位的洗衣液在一定量水的洗衣機中，它在水中釋放的濃度（克/升）隨著時間（分鐘）變化的函數關系式近似為，其中．若多次投放，則某一時刻水中的洗衣液濃度為每次投放的洗衣液在相應時刻所釋放的濃度之和．根據經驗，當水中洗衣液的濃度不低于（克/升）時，它才能起到有效去污的作用．

（1）當一次投放個單位的洗衣液時，求在分鐘時，洗衣液在水中釋放的濃度．

（2）在（1）的情況下，即一次投放個單位的洗衣液，則有效去污時間可達幾分鐘？

（3）若第一次投放個單位的洗衣液，分鐘后再投放個單位的洗衣液，請你寫出第二次投放之后洗衣液在水中釋放的濃度（克/升）與時間（分鐘）的函數關系式，求出最低濃度，并判斷接下來的四分鐘是否能夠持續有效去污．

Answer 1

【答案】（1） （2）分鐘 （3）答案見解析

【解析】

（1）根據條件建立函數關系即可得到結論．

（2）根據由（1）得,結合已知,即可求得答案.

（3）根據條件建立第二次投放之后洗衣液在水中釋放的濃度（克/升）與時間（分鐘）的函數關系式,結合基本不等式的應用進行求解即可．

（1）,

當時,

（2）則由（1）得,

當時,由,解得,

所以此時．

當時,由,解得,所以此時．

綜上所述,得,若一次投放個單位的洗衣液,則有效去污時間可達分鐘．

（3）當時,,

,

,

當且僅當,即時取等號,

有最小值,

接下來的四分鐘能夠持續有效去污．