【題目】已知橢圓
的右焦點為
，右頂點為
，離心離為
，點
滿足條件
．
（Ⅰ）求
的值．
（Ⅱ）設過點
的直線
與橢圓
相交于
、
兩點，記
和
的面積分別為
、
，求證： 
．
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）見解析
【解析】試題分析：（Ⅰ）解：因為橢圓C的方程為
，根據橢圓的性質和數據建立方程即可求出結果；
（Ⅱ）若直線l的斜率不存在， 則有
， 
，符合題意.
若直線l的斜率存在，則設直線l的方程為
，
，
.
由
得
，可知
恒成立，且
，
. 因為
，所以
.
因為
和
的面積分別為
， 
， 即可得證.
試題解析：（Ⅰ）解：因為橢圓C的方程為
，
所以
, 
, 
, 2分
則
， 
， 
. 3分
因為
，
所以
. 5分
（Ⅱ）解：若直線l的斜率不存在， 則有， 
，符合題意. 6分
若直線l的斜率存在，則設直線l的方程為，，.
由
得
， 7分
可知恒成立，且，. 8分
因為
10分
，
所以
. 12分
因為
和
的面積分別為
，
， 13分
所以
. 14分.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在直角坐標系
中，橢圓
： 
的上焦點為
，橢圓
的離心率為
，且過點
．
（1）求橢圓
的方程；
（2）設過橢圓
的上頂點
的直線
與橢圓
交于點
（
不在
軸上），垂直于
的直線與
交于點
，與
軸交于點
，若
，且
，求直線
的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若對任意
， 
有唯一確定的
與之對應，則稱
為關于
， 
的二元函數，現定義滿足下列性質的
為關于實數
， 
的廣義“距離”．
（
）非負性： 
，當且僅當
時取等號；
（
）對稱性： 
；
（
）三角形不等式： 
對任意的實數
均成立．
給出三個二元函數：①
；②
；③
，
則所有能夠成為關于
， 
的廣義“距離”的序號為__________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，其中
， 
．
（Ⅰ）當
時， 
的零點為______；（將結果直接填寫在橫線上）
（Ⅱ）當
時，如果存在
，使得
，試求
的取值范圍；
（Ⅲ）如果對于任意
，都有
成立，試求
的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知四棱錐
的底面的菱形， 
，點E是BC邊的中點，AC和DE交于點O，PO 
；
（1）求證： 
；
（2）
求二面角P-AD-C的大小。
（3）在（2）的條件下，求異面直線PB與DE所成角的余弦值。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2017年“雙11”前夕，某市場機構隨機對中國公民進行問卷調查，用于調研“雙11”民眾購物意愿和購物預計支出狀況. 分類統計后，從有購物意愿的人中隨機抽取100人作為樣本，將他（她）們按照購物預計支出（單位：千元）分成8組: [0, 2)，[2, 4)，[4, 6)，…，[14, 16]，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，其中，樣本中購物預計支出不低于1萬元的人數為a.
(Ⅰ) (i)求a的值，并估算這100人購物預計支出的平均值；
(ii)以樣本估計總體，在有購物意愿的人群中，若至少有65%的人購物預計支出不低于x千元，求x的最大值.
(Ⅱ) 如果參與本次問卷調查的總人數為t，問卷調查得到下列信息：
①參與問卷調查的男女人數之比為2:3；
②男士無購物意愿和有購物意愿的人數之比是1:3，女士無購物意愿和有購物意愿的人數之比為1:4；
③能以90%的把握認為“雙11購物意愿與性別有關”，但不能以95%的把握認為“雙11購物意愿與性別有關”.
根據以上數據信息，求t所有可能取值組成的集合M.
附： 
，其中
.
獨立檢驗臨界值表：
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】現有m個（
）實數
，它們滿足下列條件：①
，
②
記這m個實數
的和為
，
即
.
（1）若
，證明： 
；
（2）若m=5，滿足題設條件的5個實數構成數列
.設C為所有滿足題設條件的數列
構成的集合.集合
，求A中所有正數之和；
（3）對滿足題設條件的m個實數構成的兩個不同數列
與
，證明： 
.
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