Question

【題目】已知函數．

（1）當時，求函數的單調遞減區間；

（2）當時，設函數．若函數在區間上有兩個零點，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）當時，的單調遞減區間為，當時，的單調遞減區間為，當時，的單調遞減區間為；（2）.

【解析】

試題分析：（1）討論當時，當時，當時三種情況，得增區間，得減區間；（2）在上有零點，即關于的方程在上有兩個不相等的實數根，可證當時單調遞減，當時單調遞增，故.

試題解析：（1）的定義域為，．

①當時，，由，

得或．

∴當時，單調遞減．

∴的單調遞減區間為．

②當時，恒有，

∴的單調遞減區間為．

③當時，，由，得或．

∴當時，單調遞減．

∴的單調遞減區間為．

綜上，當時，的單調遞減區間為；

當時，的單調遞減區間為；

當時，的單調遞減區間為．

（2）在上有零點，

即關于的方程在上有兩個不相等的實數根．

令函數．

則，令函數．

則在上有．

故在上單調遞增．

∵．

∴當時，有即．

∴單調遞減；

當時，有，即，∴單調遞增．

∵，

，

∴的取值范圍為．