Question

【題目】已知函數對任意實數恒有且當，，又．

（1）判斷的奇偶性；

（2）求在區間上的最大值；

（3）解關于的不等式．

Answer 1

【答案】（1）奇函數；（2）；（3）.

【解析】

（1）采用令值的方法：令，得到與的關系，并計算相關值即可得到的奇偶性；

（2）分析的單調性，再根據已知的條件結合恒等式以及奇偶性即可計算出的最值；

（3）根據函數的奇偶性以及特殊值將不等式變形，再根據恒等式和函數的單調性將其轉變為自變量間的不等關系，從而可求不等式解集.

（1）的定義域為，關于原點對稱，

令，所以，所以，

令，所以，所以，

所以，所以是奇函數；

（2）任取且，

所以，所以，

又因為是奇函數，所以，

因為，所以，所以，

所以是上的減函數，

所以，

所以；

（3）因為，所以，

所以，所以，

又因為，所以，

所以，所以且是減函數，

所以，解得：，所以解集為.