Question

【題目】函數

(1)討論函數的單凋性；

(2)若存在使得對任意的不等式（其中e為自然對數的底數）都成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）略；(Ⅱ)．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求導，討論參數的取值確定導函數的正負，進而判定函數的單調性；(Ⅱ)先借助（Ⅰ）的結論求出不等式左邊的最小值，即將存在性問題轉化為左邊的最小值大于不等式右邊，再作差構造函數，將不等式恒成立問題轉化為求函數的最值問題．

試題解析：（I） ，記

（i）當時，因為，所以，函數在上單調遞增；

（ii）當時，因為，

所以，函數在上單調遞增；

（iii）當時，由，解得，

所以函數在區間上單調遞減，

在區間上單調遞增

（II）由（I）知當時，函數在區間上單調遞增，

所以當時，函數的最大值是，對任意的，

都存在，使得不等式成立，

等價于對任意的，不等式都成立，

即對任意的，不等式都成立，

記，由，

，

由得或,因為，所以，

①當時，，且時，，

時，，所以，

所以時，恒成立；

②當時，，因為，所以，

此時單調遞增，且，

所以時，成立；

③當時，，，

所以存在使得，因此不恒成立．

綜上，的取值范圍是．

另解（II）由（Ⅰ）知，當時，函數在區間上單調遞增，

所以時，函數的最大值是，

對任意的，都存在，

使得不等式成立，

等價于對任意的，不等式都成立，

即對任意的，不等式都成立，

記，

由，且

∴對任意的，不等式都成立的必要條件為

又，

由得或

因為，所以，

當時，，且時，，

時，，所以，

所以時，恒成立；

②當時，，因為，所以，

此時單調遞增，且，

所以時，成立．

綜上，的取值范圍是