Question

【題目】已知函數f（x）=alnx﹣ x2+bx存在極小值，且對于b的所有可能取值，f（x）的極小值恒大于0，則a的最小值為 ．

Answer 1

【答案】﹣e3
【解析】解：函數的定義域為（0，+∞），

則函數的導數f′（x）= ﹣x+b，

若函數f（x）=alnx﹣ x2+bx存在極小值，

則f′（x）= ﹣x+b=0有解，

即﹣x2+bx+a=0有兩個不等的正根，

則 ，得b＞2 ，（a＜0），

由f′（x）=0得x1= ，x2= ，

分析易得f（x）的極小值點為x1，

∵b＞2 ，（a＜0），

∴x1= = ∈（0， ），

則f（x）極小值=f（x1）=alnx1﹣ x12+bx1=alnx1﹣ x12+x12﹣a=alnx1+ x12﹣a，

設g（x）=alnx+ x2﹣a，x∈（0， ），

f（x）的極小值恒大于0等價為g（x）恒大于0，

∵g′（x）= +x= ＜0，

∴g（x）在（0， ）上單調遞減，

故g（x）＞g（ ）=aln ﹣ a≥0，

得ln ≤ ，即﹣a≤e3，則a≥﹣e3，

故a的最小值為是﹣e3，

所以答案是：﹣e3．

【考點精析】本題主要考查了函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．