Question

【題目】設函數 f（x）=|x+2|﹣|x﹣3|﹣a

（Ⅰ）當 a=1 時，求函數 f（x）的最大值；

（Ⅱ）若 f（x）≤ 對任意 x∈R 恒成立，求實數 a 的取值范圍．

Answer 1

【答案】 (1)4,(2) （0，1]∪[4，+∞）．

【解析】分析：（1）運用絕對值不等式的性質，可得，即可得到f（x）的最大值；

（2）f（x）≤ 對任意 x∈R 恒成立，即為，解不等式可得a 的取值范圍．

詳解：（Ⅰ）當 a=1 時，f（x）=|x+2|﹣|x﹣3|﹣1， 由|x+2|﹣|x﹣3|≤|（x+2）﹣（x﹣3）|=5，

故 f（x）≤4，

所以，當 x≥3 時，f（x）取得最大值，且為 4；

（Ⅱ）f（x）≤對任意 x∈R 恒成立，即為

f（x）max=5﹣a≤，

即為即有， 即為 a≥4 或 0＜a≤1．

即有 a 的取值范圍是（0，1]∪[4，+∞）．